פּאָל יוסף כּהן

דעם 23סטן מערץ איז געשטאָרבן, אין עלטער פֿון 72 יאָר, דער באַרימטער אַמע­ריקאַנער מאַטעמאַטיקער פּאָל יוסף כּהן. ער איז געװען אײנער פֿון די װוּנדער­­לעכסטע מאַטעמאַטיקער אינעם 20סטן יאָרהונדערט, באַקאַנט מיטן דערגרייכן פֿונדאַמענטאַלע רעזולטאַטן אין פֿאַרשײדענע געביטן פֿון מאַטעמאַטיק: אַנאַליז, דיפֿערענציעלע גלײַ­כונגען, און בפֿרט לאָגיק און סכומען־טעאָריע.

צום מערסטן, איז כּהן באַרימט געוואָרן מיט זײַן לײזונג פֿון געאָרג קאַנטאָרס "קאָנ­טינוּום־היפּאָטעזע"; פֿאַרן לייזן אָט־די היפּאָטעזע האָט ער אין 1966 געוווּנען די "פֿילדס־פּרעמיע" — די גרעסטע פּרעמיע אין מאַטעמאַטיק. מיט אַ יאָר שפּעטער האָט ער אױך באַקומען דעם מלוכישן מעדאַל פֿון װיסנשאַפֿט, די סאַמע פּרעסטיזשפֿולע װיסנ­שאַפֿטלעכע אויסצייכענונג אין אַמעריקע. פּאָל כּהן איז געבױרן געװאָרן אין 1934 אין לאָנג ברענטש, ניו־דזשערזי, אין אַן אָרעמער משפּחה פֿון פּױלישע ייִדישע אימיגראַנטן, אַבֿרהם און מיני כּהן. ער איז אױפֿגעװאַקסן אין ברוקלין, און שפּעטער געלעבט און שטודירט אין שיקאַגע. נאָך דער אַספּיראַנטור אינעם שיקאַגער אוני­װערסיטעט האָט ער געאַרבעט אינעם אוני­װערסיטעט פֿון ראָטשעסטער, "עם־אײַ־טי" און פּרינסטאָן; פֿון 1961 איז ער געװען אַ פּראָפֿעסאָר אינעם סטענפֿאָרד־אוני­װערסיטעט. בײַם אָנהייב פֿון זײַן מאַטעמאַטישער קאַריערע, איז כּהן באַקאַנט געװאָרן צו­ליב זײַנע רעזולטאַטן אין מאַטעמאַטישן אַנאַליז, פֿאַר וועלכע ער האָט שפּעטער באַקומען אַ פּרעמיע פֿון דער אַמעריקאַנער מאַטעמאַטישער געזעלשאַפֿט. אין 1962 האָט ער געלײזט די "קאָנטינוּום־היפּאָ­טעזע" — אַ פּראָבלעם אין דער מאַטע­מאַטישער לאָגיק און דער סכומען־טעאָ­ריע, פֿאָרמולירט פֿונעם דײַטשישן מאַטע­מאַ­טיקער געאָרג קאַנטאָר אין די 70ער יאָרן פֿון 19טן יאָרהונדערט.

געאָרג קאַנטאָר איז געװען דער ערש­טער מאַטעמאַטיקער, װעלכער האָט אָנגעהױבן צו שטודירן די "אומענדיקײט". יעדער איינער ווייסט, ווי אַזוי צו פֿאַר­גלײַכן ענדלעכע סכומען און צאָלן: צװײ איז גרעסער פֿון אײנס, צען איז גרעסער פֿון פֿינף, און אַזוי ווײַטער. פֿאַר קאַנטאָרן האָבן די מאַטעמאַטיקער אָבער ניט גע­טראַכט, אַז די אומענדלעכע סכומען קענען אױך זײַן זײער פֿאַרשײדן; אַז עס עקזיס­טירן פֿאַרשײדענע מדרגות פֿונעם מאַטעמאַטישן "אין־סוף". די קלענסטע מדרגה פֿון "אין־סוף", דער "ציילעוודיקער סכום", באַשטייט פֿון אַלע נאַטירלעכע צאָלן: 1, 2, 3, 4,... דעם דאָזיקן "אין־סוף" האָט קאַנטאָר אָנגערופֿן מיטן ייִדישן אות "אַלף" — "אַלף־נול". ס׳איז אינטערעסאַנט, אַז דער סכום פֿון אַלע מעגלעכע בראָכ­צאָלן (אַזעלכע ווי 1/2 אָדער 3/5), הגם ער "זעט אויס" פֿיל גרעסער, בלײַבט, אין דער אמתן, דער זעלבער "אַלף־נול", ווײַל יעדן ברוכצאָל קען מען "צושרײַבן" אַ באַזונדערע נאַטירלעכע צאָל. קאַנטאָר האָט אָבער אויפֿגעװיזן, אַז דער סכום פֿון אַלע רעאַלע צאָלן (real numbers), איז בעצם גרעסער פֿונעם "אַלף־נול".

אַזאַ גרעסערער "אין־סוף" הייסט "קאָנ­טינוּום", אָדער "צוויי אינעם גראַד אַלף־נול". דער "קאָנטינוּום" קען אויך באַשריבן ווערן ווי דער סכום פֿון אַלע מעגלעכע אומענד­לעכע טעקסטן, אָנגעשריבן דורך אַ ענדלעכן אַלף־בית. מע קען דער­קלערן קאַנטאָרס טעאָרעם דורך אַ ניט־מאַטעמאַטישער אַנאַלאָגיע: דער סכום פֿון אַלע מעגלעכע זאַכן, וואָס עקזיסטירן אין אַן אומענדלעכן אוניווערס, איז "גרעסער", ווי דער אוניווערס גופֿא.

בדרך־כּלל, באַנוצט מען זיך אין די מאַטעמאַטישע פֿאָרמולעס מיט לאַטײַנישע אָדער גריכישע אותיות. די פֿאַרשײדענע "אומענדיקײטן" האָט קאַנטאָר אָבער באַ­שלאָסן צו באַצייכענען דווקא מיטן ייִדישן אות "אַלף", מיט וועלכן עס הייבט זיך אָן דאָס װאָרט "אין־סוף"; אַ דאַנק קאַנטאָרן, קענען אַלע הײַנטיקע מאַטעמאַטיקער איבער דער גאַנצער װעלט "די צורה פֿונעם אַלף". אַפֿילו צװישן די ניט־מאַטעמאַטיקער איז דער "אַלף־נול" אױך געװאָרן אַ ביסל באַקאַנט: דער "אַלף־נול" שטײט אױף דער ערשטער זײַט פֿונעם "גרױסן װערטערבוך פֿון דער ייִדישער שפּראַך".

קאַנטאָר האָט משער געווען, אַז צווישן "אַלף־נול" און "קאָנטינוּום", איז נישטאָ קיין אַנדערע מינים "אין־סוף". פּאָל כּהנס לײזונג פֿון דער "קאָנטינוּום־היפּאָטעזע" איז גאָר אַ חידושדיקע: ניט יאָ, און ניט נײן. כּהן האָט דערוויזן, אַז ס׳איז אוממעגלעך צו דערווײַזן "קאָנטינוּום־היפּאָטעזע"! ס'איז טאַקע ניט לײַכט צו באַנעמען אַזאַ ענטפֿער; דאָס איז, אָבער, אַ װיכטיקער פֿענאָמען אין לאָגיק, באַהאַנדלט שױן אין די באַרימטע אַרבעטן פֿונעם עסטרײַכיש־אַמעריקאַנער מאַטעמאַטיקער און פֿילאָסאָף קורט געדעל: פֿאַראַן אַזעלכע מאַטעמאַטישע אַרויסזאָגונגען, וואָס מע קען זיי נישט דערווײַזן, און נישט אָפּלייקענען.

כּהנס וווּנדערלעכע לייזונג איז געװען אַ װיכטיקער שריט אויפֿן וועג צו פֿאַרשטײן דעם מאַטעמאַטישן "אין־סוף". כּדי צו לייזן די "קאָנטינוּום־היפּאָטעזע", האָט ער געשאַפֿן די טעאָריע פֿון "פֿאָרסינג", װאָס איז שפּעטער אויסגענוצט געוואָרן צו לײזן אַ צאָל אַנדערע פּראָבלעמען, און בלײַבט ביז הײַנט דער װיכטיקסטער מעטאָד אין דער סכומען־טעאָריע.

די מאַטעמאַטישע אינטערעסן פֿון פּאָל כּהן זענען געװען זײער ברײט. מען זאָגט, אַז נאָכן לײזן די "קאָנטינוּום־היפּאָטעזע" האָט ער אַ סך געאַרבעט איבער גאָר אַן אַנ­דער פּראָבלעם: די "רימאַן־היפּאָטעזע" — אַ פּראָבלעם אין דער צאָלן־טעאָריע, די באַ­רימטס­טע נישט־געלייזטע מאַטעמאַטישע פּראָבלעם, וואָס בלײַבט אָפֿן ביזן הײַנטיקן טאָג. װי װײַט ס׳האָט זיך אים אײַנגעגעבן צו דערגיין אינעם פֿאָרשן די דאָזיקע היפּאָ­טע­זע, װעלן מיר שוין קײנמאָל ניט וויסן...